y′ = 69·y + 33

Рашым лінейнае дыферэнцыяльнае раўнанне 1-га парадку выгляду y′ = a·y + b метадам інтэгруючага множніка і праверым адказ падстаўкай.

Коэфіцыенты словамі: a = шестьдесят девять, b = тридцать три.

y′ = 69·y + 33

y(x) = C·e^(69·x) - 11/23

Дадзена: y′ = 69·y + 33
Прывядзём да выгляду: y′ − a·y = b
1) Інтэгруючы множнік:
   μ(x) = e^(−69·x)
2) Умножаем раўнанне на μ(x):
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Левая частка становіцца поўнай вытворнай:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Інтэгруем:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) Выразаем y:
   y(x) = C·e^(69·x) − 11/23
Адказ: y(x) = C·e^(69·x) - 11/23

Крок 1: пераносим a·y улева: y′ − a·y = b.

Крок 2: бярэм інтэгруючы множнік μ(x)=e^(−a·x).

Крок 3: пасля множання левая частка ператвараецца ў поўную вытворную (y·μ)′.

Крок 4: інтэгруем правую частку і дадаем канстанту C.

Крок 5: множым на e^(a·x) і атрымліваем агульнае рашэнне y(x).

Пры a=0 маем y′=b. Пры a≠0 прымяняем інтэгруючы множнік і атрымліваем агульнае рашэнне з канстантай C.

Правяраем рашэннем: вылічваем y′ і параўноўваем з a·y+b — павінна супадаць.

Што азначае канстанта C?
Гэта проўзвольная пастаянная, якая адлюстроўвае сямейства рашэнняў дыферэнцыяльнага раўнання.

Калі можна вырашыць без інтэгруючага множніка?
Калі a = 0: раўнанне становіцца y′ = b і вырашаецца прамым інтэграваннем.

Навошта патрэбна праверка?
Каб упэўніцца, што вытворная y′ супадае з выразам a·y + b пасля падстаўлення рашэння.