y′ = 8·y + 5

Рашым лінейнае дыферэнцыяльнае раўнанне 1-га парадку выгляду y′ = a·y + b метадам інтэгруючага множніка і праверым адказ падстаўкай.

Коэфіцыенты словамі: a = восемь, b = пять.

y′ = 8·y + 5

y(x) = C·e^(8·x) - 5/8

Дадзена: y′ = 8·y + 5
Прывядзём да выгляду: y′ − a·y = b
1) Інтэгруючы множнік:
   μ(x) = e^(−8·x)
2) Умножаем раўнанне на μ(x):
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Левая частка становіцца поўнай вытворнай:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Інтэгруем:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) Выразаем y:
   y(x) = C·e^(8·x) − 5/8
Адказ: y(x) = C·e^(8·x) - 5/8

Крок 1: пераносим a·y улева: y′ − a·y = b.

Крок 2: бярэм інтэгруючы множнік μ(x)=e^(−a·x).

Крок 3: пасля множання левая частка ператвараецца ў поўную вытворную (y·μ)′.

Крок 4: інтэгруем правую частку і дадаем канстанту C.

Крок 5: множым на e^(a·x) і атрымліваем агульнае рашэнне y(x).

Калі a = 0, раўнанне ператвараецца ў y′ = b і вырашаецца адразу інтэграваннем. Калі a ≠ 0 — выкарыстоўваем інтэгруючы множнік μ(x)=e^(−a·x).

Праверка: падстаўляем знойдзенае y(x) у правую частку a·y + b і пераконваемся, што атрымліваем y′(x).

Што азначае канстанта C?
Гэта проўзвольная пастаянная, якая адлюстроўвае сямейства рашэнняў дыферэнцыяльнага раўнання.

Калі можна вырашыць без інтэгруючага множніка?
Калі a = 0: раўнанне становіцца y′ = b і вырашаецца прамым інтэграваннем.

Навошта патрэбна праверка?
Каб упэўніцца, што вытворная y′ супадае з выразам a·y + b пасля падстаўлення рашэння.